Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + x - 12$ ; $[0, 24]$

Etapa 1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 24]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 3

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 4

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} + x - 12 d x)$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\int_{0}^{24} x^{2} d x + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} x d x + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + \int_{0}^{24} - 12 d x)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique.

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Etapa 9.1.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{24}$ e $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24} + - 12 x]_{0}^{24})$

Etapa 9.1.2

Combine $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{24}$ e $- 12 x]_{0}^{24}$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x]_{0}^{24})$

Etapa 9.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 12 x$ em $24$ e em $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} ((\frac{1}{3} \cdot 24^{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.2.1

Eleve $24$ à potência de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{1}{3} \cdot 13824 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{13824}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.3

Cancele o fator comum de $13824$ e $3$ .

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Etapa 9.2.2.3.1

Fatore $3$ de $13824$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 (1)} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{3 \cdot 4608}{3 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (\frac{4608}{1} + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.3.2.4

Divida $4608$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 24^{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.4

Eleve $24$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{1}{2} \cdot 576 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{576}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.6

Cancele o fator comum de $576$ e $2$ .

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Etapa 9.2.2.6.1

Fatore $2$ de $576$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.2.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 (1)} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{2 \cdot 288}{2 \cdot 1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + \frac{288}{1} - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.6.2.4

Divida $288$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 288 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.7

Some $4608$ e $288$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 12 \cdot 24 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.8

Multiplique $- 12$ por $24$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4896 - 288 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.9

Subtraia $288$ de $4896$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (\frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.11

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.12

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.13

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0 - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.14

Some $0$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 - 12 \cdot 0))$

Etapa 9.2.2.15

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - (0 + 0))$

Etapa 9.2.2.16

Some $0$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 - 0)$

Etapa 9.2.2.17

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608 + 0)$

Etapa 9.2.2.18

Some $4608$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 - 0} (4608)$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24 + 0} \cdot 4608$

Etapa 10.2

Some $24$ e $0$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot 4608$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 11.1

Fatore $24$ de $4608$ .

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 (192))$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{24} \cdot (24 \cdot 192)$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 192$

Etapa 12