Cálculo Exemplos

$x e^{x}$

Etapa 1

Escreva $x e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x e^{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Etapa 3.2

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Etapa 3.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Etapa 3.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 1$ .

$- 1$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = x e^{x} + e^{x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x e^{x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ .

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2} + e^{- 2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}} + e^{- 2}$

Etapa 6.2.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Etapa 6.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + e^{- 2}$

Etapa 6.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{2}{e^{2}} + \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 6.2.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- 2) = \frac{- 2 + 1}{e^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.2.2.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1}{e^{2}}$

Etapa 6.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 2) = - \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 6.3

Em $x = - 2$ , a derivada é $- \frac{1}{e^{2}}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = (0) \cdot e^{0} + e^{0}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f' (0) = 0 \cdot 1 + e^{0}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + e^{0}$

Etapa 7.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 7.3

Em $x = 0$ , a derivada é $1$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 1, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 1)$

Etapa 9