Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 x^{2} - 6 x - 9$ e $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 6 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $6 x - 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 6$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

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Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 + \frac{d}{d x} [20]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $3 x^{2} - 6 x - 9$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 6 x - 9$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 6 x - 9 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 6 x - 9$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 6 x - 9 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $3$ de $- 6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) - 9 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $3$ de $- 9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ .

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot - 3$ .

$3 (x^{2} - 2 x - 3) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $x^{2} - 2 x - 3$ usando o método AC.

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Etapa 6.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 3$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 3, 1$

Etapa 6.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 3) (x + 1)) = 0$

Etapa 6.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 3) (x + 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 3) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3, - 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (3) - 6$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 - 6$

Etapa 10.2

Subtraia $6$ de $18$ .

$12$

Etapa 11

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = {(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 + 20$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 27 - 3 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 + 20$

Etapa 12.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 27 - 3 \cdot 9 - 9 \cdot 3 + 20$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$f (3) = 27 - 27 - 9 \cdot 3 + 20$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$f (3) = 27 - 27 - 27 + 20$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 12.2.2.1

Subtraia $27$ de $27$ .

$f (3) = 0 - 27 + 20$

Etapa 12.2.2.2

Subtraia $27$ de $0$ .

$f (3) = - 27 + 20$

Etapa 12.2.2.3

Some $- 27$ e $20$ .

$f (3) = - 7$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 7$ .

$y = - 7$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- 1) - 6$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 6 - 6$

Etapa 14.2

Subtraia $6$ de $- 6$ .

$- 12$

Etapa 15

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 + 20$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 {(- 1)}^{2} - 9 \cdot - 1 + 20$

Etapa 16.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot 1 - 9 \cdot - 1 + 20$

Etapa 16.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 - 9 \cdot - 1 + 20$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 9$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 20$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 9 + 20$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 4$ e $9$ .

$f (- 1) = 5 + 20$

Etapa 16.2.2.3

Some $5$ e $20$ .

$f (- 1) = 25$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $25$ .

$y = 25$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 20$ .

$(3, - 7)$ é um mínimo local

$(- 1, 25)$ é um máximo local

Etapa 18