Cálculo Exemplos

$x^{2} \sin (2 x)$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sin (2 x)$ .

$x^{2} (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

Etapa 2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) (2 x) d x$

Etapa 3

Como $- \frac{1}{2} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{2} \cdot 2$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \cdot 2 \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (- 2 (\frac{1}{2}) \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 2}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - (\frac{- 1}{1} \int \cos (2 x) (x) d x)$

Etapa 4.3.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} - - \int \cos (2 x) (x) d x$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + 1 \int \cos (2 x) (x) d x$

Etapa 4.5

Multiplique $\int \cos (2 x) (x) d x$ por $1$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \int \cos (2 x) (x) d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (2 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x (\frac{1}{2} \sin (2 x)) - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + x \frac{\sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 6.2

Combine $x$ e $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \int \frac{1}{2} \sin (2 x) d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \int \sin (2 x) d x)$

Etapa 8

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 8.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 9

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{\sin (u)}{2} d u$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sin (u) d u)$

Etapa 11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \sin (u) d u$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} \int \sin (u) d u$

Etapa 12

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Etapa 13

Reescreva $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$ como $- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \frac{x^{2} \cos (2 x)}{2} + \frac{x \sin (2 x)}{2} + \frac{\cos (2 x)}{4} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} x^{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} x \sin (2 x) + \frac{1}{4} \cos (2 x) + C$