Cálculo Exemplos

$y = f (x)$

Etapa 1

Escreva $y = f (x)$ como uma função.

$f (x) = f (x)$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $f (x)$ é $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d f}{d x})$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{f}{x})$

Etapa 3.2

Como $f$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{f}{x}$ em relação a $x$ é $f \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = f \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = f (- x^{- 2})$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = f (- \frac{1}{x^{2}})$

Etapa 3.5.2

Combine $f$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{f}{x^{2}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $f (x)$ é $\frac{d f}{d x}$ .

$f' (x) = \frac{d f}{d x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{d f}{d x} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{d f}{d x} = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $d$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d f}{d x} = 0$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{f}{x} = 0$

Etapa 6.3

Multiplique os dois lados da equação por $x$ .

$f = x (0)$

Etapa 6.4

Reescreva a equação como $x (0) = f$ .

$x (0) = f$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $0$ .

$0 = f$

Etapa 6.6

Reescreva $0 = f$ para que $f$ fique do lado esquerdo.

$f = 0$

Etapa 6.7

A variável $x$ foi cancelada.

Todos os números reais

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

Defina o denominador em $\frac{d f}{d x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$d x = 0$

Etapa 7.2

Divida cada termo em $d x = 0$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $d x = 0$ por $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Etapa 7.2.2.1.2

Divida $d$ por $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Etapa 7.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.3.1

Divida $0$ por $x$ .

$d = 0$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = A l \cdot l$ real $n u m b e r s, 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{f}{{(A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s))}^{2}}$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Combine expoentes.

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Etapa 10.1.1

Eleve $l$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.2

Eleve $l$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{1}) r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 1} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.4

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{2} r e a l n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.5

Eleve $l$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A (l^{1} l^{2}) r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{f}{{(A l^{1 + 2} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.7

Some $1$ e $2$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r e a n u m b e r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.8

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e) r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.9

Eleve $e$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b (e^{1} e^{1}) r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{1 + 1} r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.11

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} r a n u m b e^{2} r s)}^{2}}$

Etapa 10.1.12

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r) s)}^{2}}$

Etapa 10.1.13

Eleve $r$ à potência de $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} (r^{1} r^{1}) s)}^{2}}$

Etapa 10.1.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{1 + 1} s)}^{2}}$

Etapa 10.1.15

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s)}^{2}}$

Etapa 10.2

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2} s$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 10.3.1

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n u m b e^{2} r^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.2

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n u m b e^{2}$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m b)}^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.3

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n u m b$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u m)}^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.4

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n u m$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n u)}^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.5

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n u$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a n)}^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.6

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a n$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3} a)}^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.7

Aplique a regra do produto a $A l^{3} a$ .

$- \frac{f}{{(A l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.3.8

Aplique a regra do produto a $A l^{3}$ .

$- \frac{f}{A^{2} {(l^{3})}^{2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.4

Multiplique os expoentes em ${(l^{3})}^{2}$ .

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Etapa 10.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{3 \cdot 2} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} {(e^{2})}^{2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.5

Multiplique os expoentes em ${(e^{2})}^{2}$ .

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Etapa 10.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{2 \cdot 2} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} {(r^{2})}^{2} s^{2}}$

Etapa 10.6

Multiplique os expoentes em ${(r^{2})}^{2}$ .

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Etapa 10.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{2 \cdot 2} s^{2}}$

Etapa 10.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{f}{A^{2} l^{6} a^{2} n^{2} u^{2} m^{2} b^{2} e^{4} r^{4} s^{2}}$

Etapa 11

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 12