Cálculo Exemplos

$y = x + \sin (x)$

Etapa 1

Escreva $y = x + \sin (x)$ como uma função.

$f (x) = x + \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \sin (x)$

Etapa 3.3

Subtraia $\sin (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x)$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 + \cos (x) = 0$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 1$

Etapa 6

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 8

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 9

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 10

A solução para a equação $x = π$ .

$x = π, π$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \sin (π)$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 12.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- \sin (0)$

Etapa 12.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 0$

Etapa 12.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 13

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 13.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, π) \cup (π, \infty)$

Etapa 13.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, π)$ na primeira derivada $1 + \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 13.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 1 + \cos (0)$

Etapa 13.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 1 + 1$

Etapa 13.2.2.2

Some $1$ e $1$ .

$f' (0) = 2$

Etapa 13.2.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 13.3

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(π, \infty)$ na primeira derivada $1 + \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 13.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 1 + \cos (6)$

Etapa 13.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.3.2.1

Avalie $\cos (6)$ .

$f' (6) = 1 + 0.96017028$

Etapa 13.3.2.2

Some $1$ e $0.96017028$ .

$f' (6) = 1.96017028$

Etapa 13.3.2.3

A resposta final é $1.96017028$ .

$1.96017028$

Etapa 13.4

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = π$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 13.5

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = x + \sin (x)$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 14