Cálculo Exemplos

f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 25}$ ,

[0, 15]

$[0, 15]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que

\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]

$\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é

\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}

$\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que

f (x) = x

$f (x) = x$ e

g (x) = x^{2} - x + 25

$g (x) = x^{2} - x + 25$ .

\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - x + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{(x^{2} - x + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Multiplique

x^{2} - x + 25

$x^{2} - x + 25$ por

1

$1$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 25]}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x^{2} - x + 25

$x^{2} - x + 25$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- x

$- x$ em relação a

x

$x$ é

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Como

25

$25$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

25

$25$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.9

Some

2 x - 1

$2 x - 1$ e

0

$0$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Multiplique

x

$x$ por

x

$x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Mova

x

$x$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Multiplique

x

$x$ por

x

$x$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

2

$2$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.4

Multiplique

- x \cdot - 1

$- x \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.4.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 1

$- 1$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.4.2

Multiplique

x

$x$ por

1

$1$ .

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Combine os termos opostos em

x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x

$x^{2} - x + 25 - 2 x^{2} + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.2.1

Some

- x

$- x$ e

x

$x$ .

\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.2.2

Some

x^{2} + 25 - 2 x^{2}

$x^{2} + 25 - 2 x^{2}$ e

0

$0$ .

\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2.3

Subtraia

2 x^{2}

$2 x^{2}$ de

x^{2}

$x^{2}$ .

\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Reescreva

25

$25$ como

5^{2}

$5^{2}$ .

\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{- x^{2} + 5^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Reordene

- x^{2}

$- x^{2}$ e

5^{2}

$5^{2}$ .

\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}

$\frac{5^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que

a = 5

$a = 5$ e

b = x

$b = x$ .

$f' (x) = \frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a

$0$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{{(x^{2} - x + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(5 + x) (5 - x) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$5 + x = 0$

$5 - x = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina

$5 + x$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Defina

$5 + x$ como igual a

$0$ .

$5 + x = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Subtraia

$5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 1.2.3.3

Defina

$5 - x$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina

$5 - x$ como igual a

$0$ .

$5 - x = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Resolva

$5 - x = 0$ para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.1

Subtraia

$5$ dos dois lados da equação.

$- x = - 5$

Etapa 1.2.3.3.2.2

Divida cada termo em

$- x = - 5$ por

$- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.2.1

Divida cada termo em

$- x = - 5$ por

$- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.2.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.2.2.3.1

Divida

$- 5$ por

$- 1$ .

$x = 5$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam

$(5 + x) (5 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie

$\frac{x}{x^{2} - x + 25}$ em cada valor

$x$ em que a derivada é

$0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em

$x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua

$- 5$ por

$x$ .

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} - (- 5) + 25}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve

$- 5$ à potência de

$2$ .

$\frac{- 5}{25 - (- 5) + 25}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 5$ .

$\frac{- 5}{25 + 5 + 25}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Some

$25$ e

$5$ .

$\frac{- 5}{30 + 25}$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Some

$30$ e

$25$ .

$\frac{- 5}{55}$

Etapa 1.4.1.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Cancele o fator comum de

$- 5$ e

$55$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1.1

Fatore

$5$ de

$- 5$ .

$\frac{5 (- 1)}{55}$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1.2.1

Fatore

$5$ de

$55$ .

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 11}$

Etapa 1.4.1.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{11}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{11}$

Etapa 1.4.2

Avalie em

$x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua

$5$ por

$x$ .

$\frac{5}{{(5)}^{2} - (5) + 25}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de

$5$ e

${(5)}^{2} - (5) + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Fatore

$5$ de

$5$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5^{2} - (5) + 25}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.2.1

Fatore

$5$ de

$5^{2}$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 - (5) + 25}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.2

Fatore

$5$ de

$- (5)$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1 + 25}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.3

Fatore

$5$ de

$5 \cdot 5 + 5 \cdot - 1$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 25}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.4

Fatore

$5$ de

$25$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.5

Fatore

$5$ de

$5 \cdot (5 - 1) + 5 (5)$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.6

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot (5 - 1 + 5)}$

Etapa 1.4.2.2.1.2.7

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5 - 1 + 5}$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia

$1$ de

$5$ .

$\frac{1}{4 + 5}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some

$4$ e

$5$ .

$\frac{1}{9}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(- 5, - \frac{1}{11}), (5, \frac{1}{9})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(5, \frac{1}{9})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em

$x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua

$0$ por

$x$ .

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 25}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$\frac{0}{0 - (0) + 25}$

Etapa 3.1.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$\frac{0}{0 + 0 + 25}$

Etapa 3.1.2.1.3

Some

$0$ e

$0$ .

$\frac{0}{0 + 25}$

Etapa 3.1.2.1.4

Some

$0$ e

$25$ .

$\frac{0}{25}$

Etapa 3.1.2.2

Divida

$0$ por

$25$ .

$0$

Etapa 3.2

Avalie em

$x = 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua

$15$ por

$x$ .

$\frac{15}{{(15)}^{2} - (15) + 25}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve

$15$ à potência de

$2$ .

$\frac{15}{225 - (15) + 25}$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$15$ .

$\frac{15}{225 - 15 + 25}$

Etapa 3.2.2.1.3

Subtraia

$15$ de

$225$ .

$\frac{15}{210 + 25}$

Etapa 3.2.2.1.4

Some

$210$ e

$25$ .

$\frac{15}{235}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum de

$15$ e

$235$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Fatore

$5$ de

$15$ .

$\frac{5 (3)}{235}$

Etapa 3.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.2.1

Fatore

$5$ de

$235$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}$

Etapa 3.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 47}$

Etapa 3.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{47}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (15, \frac{3}{47})$

Etapa 4

Compare os valores de

$f (x)$ encontrados para cada valor de

$x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de

$f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de

$f (x)$ .

Máximo absoluto:

$(5, \frac{1}{9})$

Mínimo absoluto:

$(0, 0)$

Etapa 5