Cálculo Exemplos

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$

Etapa 1

Use a fórmula do arco metade para reescrever

{sin}^{2} (x)

$\sin^{2} (x)$ como

\frac{1 - cos (2 x)}{2}

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

\int \frac{1 - cos (2 x)}{2} d x

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 2

Como

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

\frac{1}{2} \int 1 - cos (2 x) d x

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

\frac{1}{2} (\int d x + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

\frac{1}{2} (x + C + \int - cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Etapa 5

Como

- 1

$- 1$ é constante com relação a

x

$x$ , mova

- 1

$- 1$ para fora da integral.

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (2 x) d x)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 6

Deixe

u = 2 x

$u = 2 x$ . Depois,

d u = 2 d x

$d u = 2 d x$ , então,

\frac{1}{2} d u = d x

$\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando

u

$u$ e

d

$d$

u

$u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Deixe

u = 2 x

$u = 2 x$ . Encontre

\frac{d u}{d x}

$\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Diferencie

2 x

$2 x$ .

\frac{d}{d x} [2 x]

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como

2

$2$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

2 x

$2 x$ em relação a

x

$x$ é

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

2 \frac{d}{d x} [x]

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

2 \cdot 1

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

2

$2$

2

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando

u

$u$ e

d u

$d u$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

\frac{1}{2} (x + C - \int cos (u) \frac{1}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 7

Combine

cos (u)

$\cos (u)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{cos (u)}{2} d u)

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 8

Como

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ é constante com relação a

u

$u$ , mova

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para fora da integral.

\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int cos (u) d u))

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 9

A integral de

cos (u)

$\cos (u)$ com relação a

u

$u$ é

sin (u)

$\sin (u)$ .

\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (sin (u) + C))

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 10

Simplifique.

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (u)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

2 x

$2 x$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} sin (2 x)) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine

sin (2 x)

$\sin (2 x)$ e

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

\frac{1}{2} (x - \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 12.3

Combine

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ e

x

$x$ .

\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2}) + C

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 12.4

Multiplique

\frac{1}{2} (- \frac{sin (2 x)}{2})

$\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.4.1

Multiplique

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ por

\frac{sin (2 x)}{2}

$\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 12.4.2

Multiplique

2

$2$ por

2

$2$ .

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

\frac{x}{2} - \frac{sin (2 x)}{4} + C

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$