Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 0}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica infinita pode ser encontrada pela fórmula $\frac{a}{1 - r}$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ e ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore ${(\frac{1}{2})}^{n}$ de ${(\frac{1}{2})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n}}$

Etapa 2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Etapa 2.2.2.4

Divida $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Etapa 4

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $0$ por $n$ em ${(\frac{1}{2})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Etapa 4.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Etapa 4.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Etapa 4.2.4

Divida $1$ por $1$ .

$a = 1$

Etapa 5

Substitua os valores da razão e o primeiro termo na fórmula da soma.

$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Etapa 6.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{\frac{2 - 1}{2}}$

Etapa 6.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 \cdot 2$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$