Cálculo Exemplos

lim x \to - \infty x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$

Etapa 1

Reescreva

x e^{x}

$x e^{x}$ como

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ .

lim x \to - \infty \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim x \to - \infty x}{lim x \to - \infty e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Etapa 2.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

\frac{- \infty}{lim x \to - \infty e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente

- x

$- x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a quantidade

e^{- x}

$e^{- x}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim x \to - \infty \frac{x}{e^{- x}} = lim x \to - \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim x \to - \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim x \to - \infty \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = e^{x}$ e

$g (x) = - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é

$a^{u} \ln (a)$ , em que

$a$ =

$e$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$- x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 2.3.4

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- x$ em relação a

$x$ é

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 2.3.6

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Etapa 2.3.7

Mova

$- 1$ para a esquerda de

$e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Etapa 2.3.8

Reescreva

$- 1 e^{- x}$ como

$- e^{- x}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de

$1$ e

$- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva

$1$ como

$- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Etapa 2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Etapa 3

Mova o termo

$- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração

$\frac{1}{e^{- x}}$ se aproxima de

$0$ .

$- 0$

Etapa 5

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$0$