Cálculo Exemplos

f (x) = \sqrt{x}

$f (x) = \sqrt{x}$ ,

a = 9

$a = 9$

Etapa 1

Considere a função usada para encontrar a linearização em

a

$a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Etapa 2

Substitua o valor de

$a = 9$ na função de linearização.

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

Etapa 3

Avalie

$f (9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável

$x$ por

$9$ na expressão.

$f (9) = \sqrt{9}$

Etapa 3.2

Simplifique

$\sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Remova os parênteses.

$(\sqrt{9})$

Etapa 3.2.2

Remova os parênteses.

$\sqrt{9}$

Etapa 3.2.3

Reescreva

$9$ como

$3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Etapa 3.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3$

Etapa 4

Encontre a derivada e a avalie em

$9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a derivada de

$f (x) = \sqrt{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{x}$ como

$x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 4.1.3

Para escrever

$- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 4.1.4

Combine

$- 1$ e

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 4.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 4.1.6.2

Subtraia

$2$ de

$1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 4.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.8.2

Multiplique

$\frac{1}{2}$ por

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Substitua a variável

$x$ por

$9$ na expressão.

$\frac{1}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Reescreva

$9$ como

$3^{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.1.3

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Etapa 4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 \cdot 3^{1}}$

Etapa 4.3.1.4

Avalie o expoente.

$\frac{1}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 5

Substitua os componentes na função de linearização para encontrar a linearização em

$a$ .

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} (x - 9)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$L (x) = 3 + \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 6.1.2

Combine

$\frac{1}{6}$ e

$x$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Etapa 6.1.3

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Fatore

$3$ de

$6$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Etapa 6.1.3.2

Fatore

$3$ de

$- 9$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 6.1.3.3

Cancele o fator comum.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Etapa 6.1.3.4

Reescreva a expressão.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Etapa 6.1.4

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$- 3$ .

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Etapa 6.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$L (x) = 3 + \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Etapa 6.2

Para escrever

$3$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 6.3

Combine

$3$ e

$\frac{2}{2}$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Etapa 6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 2 - 3}{2}$

Etapa 6.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{6 - 3}{2}$

Etapa 6.5.2

Subtraia

$3$ de

$6$ .

$L (x) = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Etapa 7