Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (θ)$

Etapa 1

Escreva $\sin^{2} (θ)$ como uma função.

$f (θ) = \sin^{2} (θ)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (θ)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (θ)$ .

$F (θ) = \int f (θ) d θ$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (θ) = \int \sin^{2} (θ) d θ$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\sin^{2} (θ)$ como $\frac{1 - \cos (2 θ)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 θ)}{2} d θ$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $θ$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 θ) d θ$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d θ + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (θ + C + \int - \cos (2 θ) d θ)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $θ$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (2 θ) d θ)$

Etapa 9

Deixe $u = 2 θ$ . Depois, $d u = 2 d θ$ , então, $\frac{1}{2} d u = d θ$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 2 θ$ . Encontre $\frac{d u}{d θ}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $2 θ$ .

$\frac{d}{d θ} [2 θ]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 θ$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [θ]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 10

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (θ + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Etapa 12

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (θ + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 θ$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{1}{2} \sin (2 θ)) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\sin (2 θ)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (θ - \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} θ + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $θ$ .

$\frac{θ}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2}) + C$

Etapa 15.4

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 θ)}{2})$ .

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Etapa 15.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 θ)}{2}$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 15.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{θ}{2} - \frac{\sin (2 θ)}{4} + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$

Etapa 17

A resposta é a primitiva da função $f (θ) = \sin^{2} (θ)$ .

$F (θ) =$ $\frac{1}{2} θ - \frac{1}{4} \sin (2 θ) + C$