Cálculo Exemplos

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Etapa 1

Escreva $- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ como uma função.

$f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Etapa 2.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 2.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 2.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 2.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Etapa 2.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 2.6.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 2.6.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 2.6.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Etapa 2.6.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.11.1

Some $1$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Etapa 2.6.11.2

Multiplique $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.6.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.4

Some $1$ e $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.10

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.12

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.13

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.14

Subtraia $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.15

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Etapa 2.7.6.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Etapa 2.7.6.17

Subtraia $1$ de $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $- 6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Etapa 5.1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Etapa 5.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Etapa 5.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 5.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 5.1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 5.1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 5.1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 5.1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Etapa 5.1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 5.1.5

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.7

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Etapa 5.1.6.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 5.1.6.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Etapa 5.1.6.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Etapa 5.1.6.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.6.11.1

Some $1$ e $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Etapa 5.1.6.11.2

Multiplique $x^{2} - 2 x + 1$ por $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Etapa 5.1.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.7.6.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.4

Some $1$ e $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.8

Mova $- 2$ para a esquerda de $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.9

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.10

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.11

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.12

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.13

Some $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.14

Subtraia $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.15

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Etapa 5.1.7.6.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Etapa 5.1.7.6.17

Subtraia $1$ de $2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $- 1$ de $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Etapa 6.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Etapa 6.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $3 x + 1$ como igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $3 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 1$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Etapa 6.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{3}$

Etapa 6.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{3}$ para o numerador.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Etapa 10.1.1.2

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Etapa 10.1.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Etapa 10.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Etapa 10.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$2 + 2$

Etapa 10.2

Some $2$ e $2$ .

$4$

Etapa 11

$x = - \frac{1}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{3}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{3}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{3}) = - ((- \frac{1}{3}) + 1) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- \frac{1}{3}) = - (- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}) {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Etapa 12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{- 1 + 3}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Etapa 12.2.3

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {((- \frac{1}{3}) - 1)}^{2}$

Etapa 12.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

Etapa 12.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Etapa 12.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3})}^{2}$

Etapa 12.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 1 - 3}{3})}^{2}$

Etapa 12.2.7.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(\frac{- 4}{3})}^{2}$

Etapa 12.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot {(- \frac{4}{3})}^{2}$

Etapa 12.2.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 12.2.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2})$

Etapa 12.2.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 12.2.10

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.2.10.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Etapa 12.2.10.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.10.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{2}{3})) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Etapa 12.2.10.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Etapa 12.2.10.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{4^{2}}{3^{2}}$

Etapa 12.2.11

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{3^{2}}$

Etapa 12.2.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2}{3}) \cdot \frac{16}{9}$

Etapa 12.2.13

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$

Etapa 12.2.14

Multiplique $- \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.14.1

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 12.2.14.2

Multiplique $16$ por $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{9 \cdot 3}$

Etapa 12.2.14.3

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - \frac{32}{27}$

Etapa 12.2.15

A resposta final é $- \frac{32}{27}$ .

$y = - \frac{32}{27}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$- 6 + 2$

Etapa 14.2

Some $- 6$ e $2$ .

$- 4$

Etapa 15

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - ((1) + 1) {((1) - 1)}^{2}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Some $1$ e $1$ .

$f (1) = - 1 \cdot (2 {((1) - 1)}^{2})$

Etapa 16.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (1) = - 2 {((1) - 1)}^{2}$

Etapa 16.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 16.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (1) = - 2 \cdot 0$

Etapa 16.2.5

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 16.2.6

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = - (x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$(- \frac{1}{3}, - \frac{32}{27})$ é um mínimo local

$(1, 0)$ é um máximo local

Etapa 18