Cálculo Exemplos

lim_{x \to \infty} x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$

Etapa 1

Reescreva

x e^{- x}

$x e^{- x}$ como

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ .

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 2.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

Etapa 2.1.3

Como o expoente

x

$x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a quantidade

e^{x}

$e^{x}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é

a^{x} \ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ , em que

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ se aproxima de

0

$0$ .

0

$0$