Cálculo Exemplos

lim x \to 0 \frac{sin (5 x)}{5 x}

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim x \to 0 sin (5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

\frac{sin (lim x \to 0 5 x)}{lim x \to 0 5 x}

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo

5

$5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique

$5$ por

$0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 5 x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova o termo

$5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 0}$

Etapa 1.3.3

Multiplique

$5$ por

$0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{5 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = \sin (x)$ e

$g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de

$\sin (u)$ em relação a

$u$ é

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.3

Como

$5$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$5 x$ em relação a

$x$ é

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.5

Multiplique

$5$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.6

Mova

$5$ para a esquerda de

$\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.7

Como

$5$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$5 x$ em relação a

$x$ é

$5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5 \cdot 1}$

Etapa 3.9

Multiplique

$5$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{5}$

Etapa 4.1.2

Divida

$\cos (5 x)$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (5 x)$

Etapa 4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 0} 5 x)$

Etapa 4.3

Mova o termo

$5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\cos (5 lim_{x \to 0} x)$

Etapa 5

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\cos (5 \cdot 0)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Multiplique

$5$ por

$0$ .

$\cos (0)$

Etapa 6.2

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$1$