Cálculo Exemplos

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

h

$h$ se aproxima de

0

$0$ .

\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de

1

$1$ , que é constante à medida que

h

$h$ se aproxima de

0

$0$ .

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} h) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de

h

$h$ substituindo

0

$0$ por

h

$h$ .

\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de

\cos (0)

$\cos (0)$ é

1

$1$ .

\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{1 - 1}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia

1

$1$ de

1

$1$ .

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

\frac{0}{lim_{h \to 0} h}

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite de

h

$h$ substituindo

0

$0$ por

h

$h$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (h) - 1}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h) - 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

\cos (h) - 1

$\cos (h) - 1$ com relação a

h

$h$ é

\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]

$\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]$ .

lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de

\cos (h)

$\cos (h)$ em relação a

h

$h$ é

- \sin (h)

$- \sin (h)$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + \frac{d}{d h} [- 1]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.4

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

h

$h$ , a derivada de

- 1

$- 1$ em relação a

h

$h$ é

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.5

Some

- \sin (h)

$- \sin (h)$ e

0

$0$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d h} [h^{n}]

$\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é

n h^{n - 1}

$n h^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h)}{1}$

Etapa 1.4

Divida

- \sin (h)

$- \sin (h)$ por

1

$1$ .

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

lim_{h \to 0} - \sin (h)

$lim_{h \to 0} - \sin (h)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo

- 1

$- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

h

$h$ .

- lim_{h \to 0} \sin (h)

$- lim_{h \to 0} \sin (h)$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

- \sin (lim_{h \to 0} h)

$- \sin (lim_{h \to 0} h)$

Etapa 3

Avalie o limite de

h

$h$ substituindo

0

$0$ por

h

$h$ .

- \sin (0)

$- \sin (0)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

O valor exato de

\sin (0)

$\sin (0)$ é

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Etapa 4.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$