Cálculo Exemplos

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{lim_{n \to \infty} n}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Etapa 1.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}

$\frac{\infty}{lim_{n \to \infty} 2^{n}}$

Etapa 1.1.3

Como o expoente

n

$n$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a quantidade

2^{n}

$2^{n}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.2

Como

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{n}{2^{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{d}{d n} [n]}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d n} [n^{n}]

$\frac{d}{d n} [n^{n}]$ é

n \cdot n^{n - 1}

$n \cdot n^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d n} [2^{n}]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

\frac{d}{d n} [a^{n}]

$\frac{d}{d n} [a^{n}]$ é

a^{n} \ln (a)

$a^{n} \ln (a)$ , em que

a

$a$ =

2

$2$ .

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n} \ln (2)}$

Etapa 2

Mova o termo

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

n

$n$ .

\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{\ln (2)} lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração

\frac{1}{2^{n}}

$\frac{1}{2^{n}}$ se aproxima de

0

$0$ .

\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0

$\frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Etapa 4

Multiplique

\frac{1}{\ln (2)}

$\frac{1}{\ln (2)}$ por

0

$0$ .

0

$0$