Cálculo Exemplos

$\int {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Etapa 1

Expanda ${(1 - \cos (x))}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 - \cos (x))}^{2}$ como $(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ .

$\int (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x)) d x$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 (1 - \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) (1 - \cos (x)) d x$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.5

Mova $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - \cos (x) (- \cos (x)) d x$

Etapa 1.6

Mova $\cos (x)$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - 1 \cdot 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) - 1 \cdot - 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + 1 \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.11

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.12

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) d x$

Etapa 1.13

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) d x$

Etapa 1.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.15

Some $1$ e $1$ .

$\int 1 - \cos (x) - \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 1.16

Subtraia $\cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$\int 1 - 2 \cos (x) + \cos^{2} (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - 2 \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$x + C - 2 \int \cos (x) d x + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 5

A integral de $\cos (x)$ com relação a $x$ é $\sin (x)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \cos^{2} (x) d x$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (x)$ como $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Etapa 10

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 13

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x + C - 2 (\sin (x) + C) + \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Etapa 16

Simplifique.

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Etapa 16.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 16.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Etapa 16.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

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Etapa 16.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 16.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x - 2 \sin (x) + \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$x - 2 \sin (x) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$