Cálculo Exemplos

$y = \cot (x)$

Etapa 1

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$f' (x) = - \csc^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$- (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 2.4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))$

Etapa 2.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))$

Etapa 2.6

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)$

Etapa 2.7

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (x) \cot (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \csc^{2} (x) \cot (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x) \cot (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \csc^{2} (x)$ e $g (x) = \cot (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.4

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) \csc^{2} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 ({\csc (x)}^{2 + 2} \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $2$ .

$2 (\csc^{4} (x) \cdot - 1 + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $\csc^{4} (x)$ .

$2 (- 1 \cdot \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.5.2

Reescreva $- 1 \csc^{4} (x)$ como $- \csc^{4} (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 u \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\csc (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + \cot (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]))$

Etapa 3.7

Mova $2$ para a esquerda de $\cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cdot \cot (x) \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 3.8

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$2 (- \csc^{4} (x) + 2 \cot (x) \csc (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot (x) \csc (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 3.10

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot (x)) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.11

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 {\cot (x)}^{1 + 1} \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.13

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc (x) \csc (x))$

Etapa 3.14

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc (x)))$

Etapa 3.15

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)))$

Etapa 3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) {\csc (x)}^{1 + 1})$

Etapa 3.17

Some $1$ e $1$ .

$2 (- \csc^{4} (x) - 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 3.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \csc^{4} (x)) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 3.18.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.18.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) + 2 (- 2 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x))$

Etapa 3.18.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 2 \csc^{4} (x) - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$

Etapa 3.18.3

Reordene os termos.

$f''' (x) = - 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x) - 2 \csc^{4} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 \cot^{2} (x) \csc^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x) \csc^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot^{2} (x)$ e $g (x) = \csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (x)] + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.4

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cot (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.6

A derivada de $\cot (x)$ em relação a $x$ é $- \csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (2 \csc (x) (- \csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc (x) (\csc (x) \cot (x))) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.8

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.9

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 (\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 {\csc (x)}^{1 + 1} \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.11

Some $1$ e $1$ .

$- 4 (\cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x) \cot (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.12

Multiplique $\cot^{2} (x)$ por $\cot (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.12.1

Mova $\cot (x)$ .

$- 4 (\cot (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.12.2

Multiplique $\cot (x)$ por $\cot^{2} (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.12.2.1

Eleve $\cot (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (\cot^{1} (x) \cot^{2} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.12.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 ({\cot (x)}^{1 + 2} (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.12.3

Some $1$ e $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (2 \cot (x) (- \csc^{2} (x)))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.13

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x) \csc^{2} (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.14

Multiplique $\csc^{2} (x)$ por $\csc^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.14.1

Mova $\csc^{2} (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) \csc^{2} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.14.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + {\csc (x)}^{2 + 2} (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.2.14.3

Some $2$ e $2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + \frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \csc^{4} (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \csc^{4} (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \csc (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ é $n {u_{3}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\csc (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 \csc^{3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\csc (x)$ em relação a $x$ é $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (4 \csc^{3} (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Etapa 4.3.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 \csc^{3} (x) (\csc (x) \cot (x)))$

Etapa 4.3.5

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 (\csc^{1} (x) \csc^{3} (x)) \cot (x))$

Etapa 4.3.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 {\csc (x)}^{1 + 3} \cot (x))$

Etapa 4.3.7

Some $1$ e $3$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) - 2 (- 4 \csc^{4} (x) \cot (x))$

Etapa 4.3.8

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x)) + \csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 (\cot^{3} (x) (- 2 \csc^{2} (x))) - 4 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$8 (\cot^{3} (x) (\csc^{2} (x))) - 4 (\csc^{4} (x) (- 2 \cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 4$ .

$8 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 8 (\csc^{4} (x) (\cot (x))) + 8 \csc^{4} (x) \cot (x)$

Etapa 4.4.2.3

Some $8 \csc^{4} (x) \cot (x)$ e $8 \csc^{4} (x) \cot (x)$ .

$f^{4} (x) = 8 \cot^{3} (x) \csc^{2} (x) + 16 \csc^{4} (x) \cot (x)$