Cálculo Exemplos

$\int \sin (2 x) + \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sin (2 x) d x + \int \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Etapa 3

Combine $\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u_{1})}{2} d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (2 x) d x$

Etapa 5

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (2 x) d x$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Depois, $d u_{2} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 6.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 7

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 9

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u_{1}) + C) + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$- \frac{\cos (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$