Cálculo Exemplos

$\int_{π}^{3 π} \cot^{2} (\frac{x}{6}) d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{x}{6}$ . Depois, $d u = \frac{1}{6} d x$ , então, $6 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{x}{6}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{6}]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{6}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Etapa 1.3

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{x}{6}$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{6}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 1.4.1

Fatore $3$ de $3 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 (π)}{6}$

Etapa 1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Etapa 1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{6}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) (1 \cdot 6) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) \cdot 6 d u$

Etapa 2.3

Mova $6$ para a esquerda de $\cot^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 6 \cot^{2} (u) d u$

Etapa 3

Como $6$ é constante com relação a $u$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (u) d u$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\cot^{2} (u)$ como $- 1 + \csc^{2} (u)$ .

$6 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (u) d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$6 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d u + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (u) d u)$

Etapa 7

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$6 (- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 8

Combine $- u]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ e $- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$6 (- u - \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 9

Avalie $- u - \cot (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $\frac{π}{6}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\cot (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Etapa 10.2

O valor exato de $\cot (\frac{π}{6})$ é $\sqrt{3}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 10.4

Some $- \frac{π}{2}$ e $0$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 10.5

Para escrever $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 10.6

Combine $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Etapa 10.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Etapa 10.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$6 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Etapa 10.9

Combine $6$ e $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Etapa 10.10

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 10.10.1

Fatore $2$ de $6 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Etapa 10.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 (1)}$

Etapa 10.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{1}$

Etapa 10.10.2.4

Divida $3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ por $1$ .

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- π - 2 (- \frac{π}{6}) - 2 (- \sqrt{3}))$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{6}$ para o numerador.

$3 (- π - 2 \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Etapa 11.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$3 (- π + 2 (- 1) \frac{- π}{6} - 2 (- \sqrt{3}))$

Etapa 11.2.3

Fatore $2$ de $6$ .

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Etapa 11.2.4

Cancele o fator comum.

$3 (- π + 2 \cdot - 1 \frac{- π}{2 \cdot 3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Etapa 11.2.5

Reescreva a expressão.

$3 (- π - \frac{- π}{3} - 2 (- \sqrt{3}))$

Etapa 11.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$3 (- π - \frac{- π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- π - - \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.5

Multiplique $- - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 11.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$3 (- π + 1 \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.5.2

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $1$ .

$3 (- π + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.6

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$3 (- π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.7

Combine $- π$ e $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{- π \cdot 3 + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 (\frac{- 3 π + π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.10

Some $- 3 π$ e $π$ .

$3 (\frac{- 2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{2 π}{3} + 2 \sqrt{3})$

Etapa 11.12

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (- \frac{2 π}{3}) + 3 (2 \sqrt{3})$

Etapa 11.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.13.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 π}{3}$ para o numerador.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Etapa 11.13.2

Cancele o fator comum.

$3 \frac{- 2 π}{3} + 3 (2 \sqrt{3})$

Etapa 11.13.3

Reescreva a expressão.

$- 2 π + 3 (2 \sqrt{3})$

Etapa 11.14

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 2 π + 6 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$4.10911953 \dots$