Cálculo Exemplos

$\int x \sin (x^{2}) \cos (x^{2}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \sin (x^{2})$ . Depois, $d u_{2} = 2 x \cos (x^{2}) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x \cos (x^{2}) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \sin (x^{2})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\sin (x^{2})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (x^{2}) (2 x)$

Etapa 1.1.3.2

Reordene os fatores de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$2 x \cos (x^{2})$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2

Combine $u_{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u_{2}}{2} d u_{2}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reescreva $\frac{1}{2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (x^{2})$ .

$\frac{1}{4} \sin^{2} (x^{2}) + C$