Cálculo Exemplos

$\int y + y \cos (x y) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d x + \int y \cos (x y) d x$

Etapa 2

Aplique a regra da constante.

$y x + C + \int y \cos (x y) d x$

Etapa 3

Como $y$ é constante com relação a $x$ , mova $y$ para fora da integral.

$y x + C + y \int \cos (x y) d x$

Etapa 4

Deixe $u = x y$ . Depois, $d u = y d x$ , então, $\frac{1}{y} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x y$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x y$ .

$\frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 4.1.2

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$y$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y x + C + y \int \cos (u) \frac{1}{y} d u$

Etapa 5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{y}$ .

$y x + C + y \int \frac{\cos (u)}{y} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{y}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{y}$ para fora da integral.

$y x + C + y (\frac{1}{y} \int \cos (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{y}$ e $y$ .

$y x + C + \frac{y}{y} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum.

$y x + C + \frac{y}{y} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.2.2

Reescreva a expressão.

$y x + C + 1 \int \cos (u) d u$

Etapa 7.3

Multiplique $\int \cos (u) d u$ por $1$ .

$y x + C + \int \cos (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$y x + C + \sin (u) + C$

Etapa 9

Simplifique.

$y x + \sin (u) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$y x + \sin (x y) + C$