Cálculo Exemplos

$\int y {(y^{4} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $y^{4}$ como ${(y^{2})}^{2}$ .

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 y^{3} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Etapa 1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot y$

Etapa 1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\int y {({(y^{2})}^{2} - 2 \cdot y^{2} \cdot y + y^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = y^{2}$ e $b = y$ .

$\int y {({(y^{2} - y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} d y$

Etapa 1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum.

$\int y {(y^{2} - y)}^{2 (\frac{1}{2})} d y$

Etapa 1.3.2

Reescreva a expressão.

$\int y {(y^{2} - y)}^{1} d y$

Etapa 1.4

Simplifique.

$\int y (y^{2} - y) d y$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int y \cdot y^{2} + y (- y) d y$

Etapa 2.2

Reordene $y$ e $- 1$ .

$\int y \cdot y^{2} - 1 \cdot y \cdot y d y$

Etapa 2.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{1} y^{2} - 1 y \cdot y d y$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{1 + 2} - 1 y \cdot y d y$

Etapa 2.5

Some $1$ e $2$ .

$\int y^{3} - 1 y \cdot y d y$

Etapa 2.6

Fatore o negativo.

$\int y^{3} - (y \cdot y) d y$

Etapa 2.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y) d y$

Etapa 2.8

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int y^{3} - (y^{1} y^{1}) d y$

Etapa 2.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{3} - y^{1 + 1} d y$

Etapa 2.10

Some $1$ e $1$ .

$\int y^{3} - y^{2} d y$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{3} d y + \int - y^{2} d y$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{3}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C + \int - y^{2} d y$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C - \int y^{2} d y$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{4} y^{4} - \frac{1}{3} y^{3} + C$