Cálculo Exemplos

$\int t e^{- 7 t^{2}} d t$

Etapa 1

Deixe $u = - 7 t^{2}$ . Depois, $d u = - 14 t d t$ , então, $- \frac{1}{14} d u = t d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = - 7 t^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $- 7 t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- 7 t^{2}]$

Etapa 1.1.2

Como $- 7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 7 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- 7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 7 (2 t)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$- 14 t$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{- 14} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int e^{u} (- \frac{1}{14}) d u$

Etapa 2.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{14}$ .

$\int - \frac{e^{u}}{14} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{e^{u}}{14} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{14}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{14}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{14} \int e^{u} d u)$

Etapa 5

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{1}{14} (e^{u} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

$- \frac{1}{14} e^{u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 7 t^{2}$ .

$- \frac{1}{14} e^{- 7 t^{2}} + C$