Cálculo Exemplos

$\sqrt{2} \int_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}} \sec^{2} (y) d y$

Etapa 1

Como a derivada de $\tan (y)$ é $\sec^{2} (y)$ , a integral de $\sec^{2} (y)$ é $\tan (y)$ .

$\sqrt{2} \tan (y)]_{- \frac{π}{6}}^{\frac{π}{6}}$

Etapa 2

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1

Avalie $\tan (y)$ em $\frac{π}{6}$ e em $- \frac{π}{6}$ .

$\sqrt{2} (\tan (\frac{π}{6}) - \tan (- \frac{π}{6}))$

Etapa 2.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (- \frac{π}{6}))$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - \tan (\frac{11 π}{6}))$

Etapa 2.3.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no quarto quadrante.

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \tan (\frac{π}{6}))$

Etapa 2.3.3

O valor exato de $\tan (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} - - \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- - \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 2.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$\sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{2} \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.6

Some $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 2.3.7

Multiplique $\sqrt{2} \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 2.3.7.2

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{2 \sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Etapa 2.3.7.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

Forma decimal:

$1.63299316 \dots$