Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{1 + 0.2 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + 0.2 x$ . Depois, $d u = 0.2 d x$ , então, $\frac{1}{0.2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + 0.2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + 0.2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 0.2 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 0.2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [0.2 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.2 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [0.2 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $0.2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.2 x$ em relação a $x$ é $0.2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 0.2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 0.2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $0.2$ por $1$ .

$0 + 0.2$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $0.2$ .

$0.2$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{0.2} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{0.2}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{0.2} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{0.2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{0.2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{0.2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{0.2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{0.2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{0.2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$ .

$5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $u^{\frac{3}{2}}$ .

$5 \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $5$ e $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 u^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{10 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 0.2 x$ .

$\frac{10 {(1 + 0.2 x)}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 8

Reordene os termos.

$\frac{10}{3} {(1 + 0.2 x)}^{\frac{3}{2}} + C$