Cálculo Exemplos

$\int t \ln (2 t) d t$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (2 t)$ e $d v = t$ .

$\ln (2 t) (\frac{1}{2} t^{2}) - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t^{2}$ .

$\ln (2 t) \frac{t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

Etapa 2.2

Combine $\ln (2 t)$ e $\frac{t^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} t^{2} \frac{1}{t} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t^{2} \frac{1}{t} d t)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $t^{2}$ e $\frac{1}{t}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t^{2}}{t} d t)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $t^{2}$ e $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t} d t)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t^{1}} d t)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t \cdot t}{t \cdot 1} d t)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{t}{1} d t)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $t$ por $1$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int t d t)$

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int t d t$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva $\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \ln (2 t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \ln (2 t) t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (2 t)$ .

$\frac{\ln (2 t)}{2} t^{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{\ln (2 t)}{2}$ e $t^{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} t^{2} + C$

Etapa 6.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} t^{2} + C$

Etapa 6.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$

Etapa 6.3

Combine $t^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\ln (2 t) t^{2}}{2} - \frac{t^{2}}{4} + C$

Etapa 6.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (2 t) t^{2} - \frac{1}{4} t^{2} + C$