Cálculo Exemplos

$\int x \log_{5} (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \log_{5} (x)$ e $d v = x$ .

$\log_{5} (x) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\log_{5} (x) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Etapa 2.2

Combine $\log_{5} (x)$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{1}{x \ln (5)} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{x \ln (5)} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Fatore $x$ de $x \ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x (\ln (5))} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x \cdot x}{x \ln (5)} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x)$

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{x}{\ln (5)} d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{\ln (5)}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{\ln (5)}$ para fora da integral.

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (5)} \int x d x)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{\ln (5)}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{\ln (5) \cdot 2} \int x d x$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (5)$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \int x d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\log_{5} (x)$ .

$\frac{\log_{5} (x)}{2} x^{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.2.2

Combine $\frac{\log_{5} (x)}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 \ln (5)} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 8.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{2 (2 \ln (5))} x^{2} + C$

Etapa 8.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$

Etapa 8.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{4 \ln (5)}$ .

$\frac{\log_{5} (x) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4 \ln (5)} + C$

Etapa 8.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \log_{5} (x) x^{2} - \frac{1}{4 \ln (5)} x^{2} + C$