Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 8 \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = 2 x$ . Depois, $d u = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Etapa 3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u)}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\frac{8}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 5.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$4 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$4 (\sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}})$

Etapa 7

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$4 (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$4 (1 - \sin (0))$

Etapa 8.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$4 (1 - 0)$

Etapa 8.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 (1 + 0)$

Etapa 8.4

Some $1$ e $0$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 8.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$