Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

Etapa 1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Etapa 2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 2.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie $\frac{u^{2}}{2}$ em $\frac{\sqrt{2}}{2}$ e em $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 5.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

Etapa 5.2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

Etapa 5.2.4

Some $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ e $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

Etapa 6.1.3

Reescreva a expressão.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $2$ de $2^{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Etapa 6.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 6.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Etapa 6.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Etapa 6.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 6.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Etapa 6.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2^{1}}{2}$

Etapa 6.4.5

Avalie o expoente.

$\frac{2}{2}$

Etapa 6.5

Divida $2$ por $2$ .

$1$