Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

Etapa 1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = π - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = π - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $π - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.2.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 2.1.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

Etapa 2.3

Subtraia $0$ de $π$ .

$u_{lower} = π$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 2.5.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

Etapa 4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

Etapa 5

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

Etapa 6

Avalie $- \cos (u)$ em $\frac{3 π}{4}$ e em $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

Etapa 7.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 7.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Etapa 7.1.3.2

Multiplique $\frac{\sqrt{2}}{2}$ por $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

Etapa 7.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

Etapa 7.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 7.1.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Etapa 7.3.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

Etapa 7.3.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

Etapa 7.4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \sqrt{2} + 2$

Forma decimal:

$0.58578643 \dots$