Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 6} (2 x) \sin (2 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \cos (2 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 1.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 1.5.1.2

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 1.5.1.3

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{3})$ é $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.2

Combine ${u_{2}}^{- 6}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 6}}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3

Mova ${u_{2}}^{- 6}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{6}} d u_{2}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{6}} d u_{2}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{6}} d u_{2})$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova ${u_{2}}^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{6})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{6})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{6 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 6}$ com relação a $u_{2}$ é $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ em $\frac{1}{2}$ e em $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{5} {(\frac{1}{2})}^{- 5}) + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cdot 2^{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

Etapa 7.2.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cdot 32 + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

Etapa 7.2.3

Multiplique $32$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 32 (\frac{1}{5}) + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

Etapa 7.2.4

Combine $- 32$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

Etapa 7.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

Etapa 7.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1)$

Etapa 7.2.7

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $1$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5})$

Etapa 7.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 + 1}{5}$

Etapa 7.2.9

Some $- 32$ e $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{5}$

Etapa 7.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} (- \frac{31}{5})$

Etapa 7.2.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{31}{5}$

Etapa 7.2.12

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{31}{5}$

Etapa 7.2.13

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{31}{5}$ .

$\frac{31}{2 \cdot 5}$

Etapa 7.2.14

Multiplique $2$ por $5$ .

$\frac{31}{10}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{31}{10}$

Forma decimal:

$3.1$

Forma de número misto:

$3 \frac{1}{10}$