Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 6 x$ . Depois, $d u_{1} = 6 d x$ , então, $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 6 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Etapa 1.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$6$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

Etapa 1.5

Multiplique $6$ por $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

Etapa 2

Combine $\cos (\sqrt{u_{1}})$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , então, $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 5

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $2$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int w d v = w v - \int v d w$ , em que $w = u_{2}$ e $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 8

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $u_{2} \sin (u_{2})$ em $\sqrt{5.4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

Etapa 9.2

Avalie $- \cos (u_{2})$ em $\sqrt{5.4}$ e em $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $0$ por $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

Etapa 9.3.2

Some $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ e $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

Etapa 10

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Etapa 11.2

Multiplique $\sqrt{5.4}$ por $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

Etapa 11.3

Avalie $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

Etapa 11.4

Multiplique $- 1$ por $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

Etapa 11.5

Some $0.68382614$ e $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

Etapa 11.6

Multiplique $- 1$ por $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

Etapa 11.7

Subtraia $1.68382614$ de $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

Etapa 11.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

Etapa 11.9

Divida $0.01171557$ por $3$ .

$0.00390519$