Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 1

Divida $x$ por $x + 1$ .

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Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int_{0}^{1} 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} d x + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 5.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 5.5

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{0}^{1} - \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $x$ em $1$ e em $0$ .

$(1) + 0 - (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

Etapa 7.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $2$ e em $1$ .

$(1) + 0 - ((\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 7.3

Some $1$ e $0$ .

$1 - (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 8

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$1 - \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$1 - \ln (\frac{2}{| 1 |})$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$1 - \ln (\frac{2}{1})$

Etapa 9.3

Divida $2$ por $1$ .

$1 - \ln (2)$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$1 - \ln (2)$

Forma decimal:

$0.30685281 \dots$

Etapa 11