Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ como um produto.

$\int_{0}^{1} \ln (x) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \frac{2}{x} d x$

Etapa 3.2

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{x}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{x} d x$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Etapa 3.4

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.5

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.5.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.5.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.5.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Etapa 3.5.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 5.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 5.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 5.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

Etapa 7

Avalie $\ln (x) (2 x^{\frac{1}{2}})$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (1) (2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})) - \ln (0) (2 x^{\frac{1}{2}}) - 2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{0}^{1})$

Etapa 8

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido