Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{π}{4} y$ . Depois, $d u = \frac{π}{4} d y$ , então, $\frac{4}{π} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{π}{4} y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

Etapa 1.1.2

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{π}{4} y$ em relação a $y$ é $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

Etapa 1.1.4

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

Etapa 1.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

Etapa 2.2

Multiplique $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

Etapa 2.3

Combine $\tan^{2} (u)$ e $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

Etapa 2.4

Mova $4$ para a esquerda de $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

Etapa 3

Como $\frac{4}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{4}{π}$ para fora da integral.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (u)$ como $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

Etapa 7

Como a derivada de $\tan (u)$ é $\sec^{2} (u)$ , a integral de $\sec^{2} (u)$ é $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Etapa 8

Combine $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ e $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $- u + \tan (u)$ em $\frac{π}{4}$ e em $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

Etapa 10.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

Etapa 10.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

Etapa 10.4

Some $- \frac{π}{4} + 1$ e $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{4}$ para o numerador.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.3

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 11.3.1

Fatore $π$ de $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.3.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

Etapa 11.4

Multiplique $\frac{4}{π}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- 1 + \frac{4}{π}$

Forma decimal:

$0.27323954 \dots$