Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

Etapa 1

Deixe $u = t^{4} + 7 t$ . Depois, $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ , então, $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = t^{4} + 7 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{4} + 7 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$4 t^{3} + 7$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Etapa 1.5.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $7$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $8$ e em $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3

Multiplique os expoentes em ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $3 (\frac{3}{2})$ .

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Etapa 4.2.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.2.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.7

Some $2$ e $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.8

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.9

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.2.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.2.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

Etapa 4.2.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

Etapa 4.2.12

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

Etapa 4.2.13

Multiplique $0$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

Etapa 4.2.14

Some $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ e $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

Forma decimal:

$15.08494466 \dots$

Etapa 6