Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{1}{4 x + 1} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 4 x + 1$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 4 x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 1.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Etapa 1.5.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 4} d u$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$\int_{1}^{5} \frac{1}{4 u} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Etapa 5

Avalie $\ln (| u |)$ em $5$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| 5 |) - \ln (| 1 |))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Etapa 7.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Etapa 7.3

Divida $5$ por $1$ .

$\frac{\ln (5)}{4}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (5)}{4}$

Forma decimal:

$0.40235947 \dots$

Etapa 9