Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

Etapa 1.2

Multiplique $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ por $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $32 y - 2$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $2$ de $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Etapa 1.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Etapa 1.3.3

Fatore $2$ de $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

Etapa 3

Deixe $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Depois, $d u = (16 y - 1) d y$ , então, $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 8 y^{2} - y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 y^{2} - y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 y^{2}$ em relação a $y$ é $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 3.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$16 y - 1 + 0$

Etapa 3.1.5.2

Some $16 y - 1$ e $0$ .

$16 y - 1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Etapa 3.3.2

Some $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $8$ por $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ de $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

Etapa 3.5.3

Some $7$ e $1$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Etapa 4.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

Etapa 6

Combine $\frac{3}{2}$ e $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ em $8$ e em $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 7.2.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.5

Multiplique $3$ por $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

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Etapa 7.2.6.1

Fatore $2$ de $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.6.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

Etapa 7.2.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

Etapa 7.2.8

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.9

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.10

Combine $6$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Etapa 7.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

Etapa 7.2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.12.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

Etapa 7.2.12.2

Subtraia $3$ de $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

Etapa 7.2.13

Combine $2$ e $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Etapa 7.2.14

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18}{2}$

Etapa 7.2.15

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

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Etapa 7.2.15.1

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

Etapa 7.2.15.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.15.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

Etapa 7.2.15.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2.15.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{1}$

Etapa 7.2.15.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$9$

Etapa 8