Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} x^{2} \cdot \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} x^{2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Etapa 6

Avalie $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) x^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}$

Etapa 7

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido