Cálculo Exemplos

$\sin (5 x + 5 y) = x y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\sin (5 x + 5 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x + 5 y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 5 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x + 5 y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x + 5 y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 5 y$ .

$\cos (5 x + 5 y) \frac{d}{d x} [5 x + 5 y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\cos (5 x + 5 y) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5 y])$

Etapa 2.2.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 + \frac{d}{d x} [5 y])$

Etapa 2.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Etapa 3.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$x y' + y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y') = x y' + y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y')$ .

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y') = x y' + y$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\cos (5 x + 5 y) (5 + 5 y') = x y' + y$

Etapa 5.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (5 x + 5 y) \cdot 5 + \cos (5 x + 5 y) (5 y') = x y' + y$

Etapa 5.1.1.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1.4.1

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x + 5 y)$ .

$5 \cdot \cos (5 x + 5 y) + \cos (5 x + 5 y) (5 y') = x y' + y$

Etapa 5.1.1.4.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 \cdot \cos (5 x + 5 y) + 5 \cos (5 x + 5 y) y' = x y' + y$

Etapa 5.1.1.4.3

Reordene os fatores em $5 \cos (5 x + 5 y) + 5 \cos (5 x + 5 y) y'$ .

$5 \cos (5 x + 5 y) + 5 y' \cos (5 x + 5 y) = x y' + y$

Etapa 5.2

Subtraia $x y'$ dos dois lados da equação.

$5 \cos (5 x + 5 y) + 5 y' \cos (5 x + 5 y) - x y' = y$

Etapa 5.3

Subtraia $5 \cos (5 x + 5 y)$ dos dois lados da equação.

$5 y' \cos (5 x + 5 y) - x y' = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Etapa 5.4

Fatore $y'$ de $5 y' \cos (5 x + 5 y) - x y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $y'$ de $5 y' \cos (5 x + 5 y)$ .

$y' (5 \cos (5 x + 5 y)) - x y' = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Etapa 5.4.2

Fatore $y'$ de $- x y'$ .

$y' (5 \cos (5 x + 5 y)) + y' (- x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Etapa 5.4.3

Fatore $y'$ de $y' (5 \cos (5 x + 5 y)) + y' (- x)$ .

$y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$ por $5 \cos (5 x + 5 y) - x$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x) = y - 5 \cos (5 x + 5 y)$ por $5 \cos (5 x + 5 y) - x$ .

$\frac{y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} + \frac{- 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $5 \cos (5 x + 5 y) - x$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (5 \cos (5 x + 5 y) - x)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} + \frac{- 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} + \frac{- 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{y}{5 \cos (5 x + 5 y) - x} - \frac{5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Etapa 5.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y - 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - 5 \cos (5 x + 5 y)}{5 \cos (5 x + 5 y) - x}$