Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} r^{2} e^{3 r} d r$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = r^{2}$ e $d v = e^{3 r}$ .

$r^{2} (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 r}$ .

$r^{2} \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Etapa 2.2

Combine $r^{2}$ e $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} (2 r) d r$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3} \cdot 2$ é constante com relação a $r$ , mova $\frac{1}{3} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r)$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} (r) d r$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = r$ e $d v = e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r (\frac{1}{3} e^{3 r})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (r \frac{e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Etapa 6.2

Combine $r$ e $\frac{e^{3 r}}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} e^{3 r} d r)$

Etapa 6.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 r}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{e^{3 r}}{3} d r)$

Etapa 7

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $r$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} e^{3 r} d r))$

Etapa 8

Deixe $u = 3 r$ . Depois, $d u = 3 d r$ , então, $\frac{1}{3} d u = d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u = 3 r$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $3 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 r]$

Etapa 8.1.2

Como $3$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $3 r$ em relação a $r$ é $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 \frac{d}{d r} [r]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $r$ em $u = 3 r$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Etapa 8.3

Multiplique $3$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $r$ em $u = 3 r$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

Etapa 8.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$u_{upper} = 6$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u)$

Etapa 9

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u)$

Etapa 10

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u))$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Etapa 11.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} \int_{0}^{6} e^{u} d u)$

Etapa 12

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{9} e^{u}]_{0}^{6})$

Etapa 13

Combine $e^{u}]_{0}^{6}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $\frac{r^{2} e^{3 r}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{r e^{3 r}}{3}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Etapa 14.2

Avalie $\frac{r e^{3 r}}{3}$ em $2$ e em $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{e^{u}]_{0}^{6}}{9})$

Etapa 14.3

Avalie $e^{u}$ em $6$ e em $0$ .

$(\frac{2^{2} e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4

Simplifique.

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Etapa 14.4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 e^{3 \cdot 2}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0^{2} e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.7

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 14.4.7.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.7.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.7.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.9

Some $\frac{4 e^{6}}{3}$ e $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2 e^{3 \cdot 2}}{3}) - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{3 \cdot 0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.11

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 e^{0}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.12

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0 \cdot 1}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.13

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.14

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 14.4.14.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 (0)}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.4.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{0}{1} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.14.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.15

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} + 0 - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.16

Some $\frac{2 e^{6}}{3}$ e $0$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{(e^{6}) - e^{0}}{9})$

Etapa 14.4.17

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1 \cdot 1}{9})$

Etapa 14.4.18

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Etapa 14.4.19

Para escrever $\frac{2 e^{6}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Etapa 14.4.20

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 14.4.20.1

Multiplique $\frac{2 e^{6}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Etapa 14.4.20.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2 e^{6} \cdot 3}{9} - \frac{e^{6} - 1}{9})$

Etapa 14.4.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2 e^{6} \cdot 3 - (e^{6} - 1)}{9}$

Etapa 14.4.22

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$

Etapa 14.4.23

Multiplique $\frac{6 e^{6} - (e^{6} - 1)}{9}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Etapa 14.4.24

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{(6 e^{6} - (e^{6} - 1)) \cdot 2}{27}$

Etapa 14.4.25

Mova $2$ para a esquerda de $6 e^{6} - (e^{6} - 1)$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} - \frac{2 \cdot (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Etapa 14.4.26

Para escrever $\frac{4 e^{6}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6}}{3} \cdot \frac{9}{9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Etapa 14.4.27

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 14.4.27.1

Multiplique $\frac{4 e^{6}}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{3 \cdot 9} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Etapa 14.4.27.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{4 e^{6} \cdot 9}{27} - \frac{2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Etapa 14.4.28

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 e^{6} \cdot 9 - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Etapa 14.4.29

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - (e^{6} - 1))}{27}$

Etapa 15

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} - - 1)}{27}$

Etapa 15.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (6 e^{6} - e^{6} + 1)}{27}$

Etapa 15.2

Subtraia $e^{6}$ de $6 e^{6}$ .

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6} + 1)}{27}$

Etapa 15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{36 e^{6} - 2 (5 e^{6}) - 2 \cdot 1}{27}$

Etapa 15.4

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2 \cdot 1}{27}$

Etapa 15.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{36 e^{6} - 10 e^{6} - 2}{27}$

Etapa 15.6

Subtraia $10 e^{6}$ de $36 e^{6}$ .

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{26 e^{6} - 2}{27}$

Forma decimal:

$388.41291225 \dots$

Etapa 17