Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Etapa 1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 1$ .

$u_{upper} = 2 - 1$

Etapa 1.5

Subtraia $1$ de $2$ .

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 1$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{- 1}^{1} {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int_{- 1}^{1} u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Etapa 2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{- 1}^{1} u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 u^{\frac{1}{3}}]_{- 1}^{1}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $3 u^{\frac{1}{3}}$ em $1$ e em $- 1$ .

$(3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}) - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$3 - 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$3 - 3 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$3 - 3 {(- 1)}^{1}$

Etapa 4.2.6

Avalie o expoente.

$3 - 3 \cdot - 1$

Etapa 4.2.7

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$3 + 3$

Etapa 4.2.8

Some $3$ e $3$ .

$6$

Etapa 5