Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 2.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

Etapa 2.5

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Etapa 3

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Etapa 5

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

Etapa 10

Como $- 4$ é constante com relação a $x$ , mova $- 4$ para fora da integral.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $- \cos (u)$ em $2 π$ e em $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Etapa 13.2

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $2$ e em $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

Etapa 13.3

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $2$ e em $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4

Simplifique.

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Etapa 13.4.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum de $16$ e $4$ .

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Etapa 13.4.2.1

Fatore $4$ de $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.4.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.4

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

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Etapa 13.4.4.1

Fatore $4$ de $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.4.4.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.4.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.6

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.8

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 13.4.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.4.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.8.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

Etapa 13.4.9

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

Etapa 13.4.10

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 13.4.10.1

Fatore $2$ de $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

Etapa 13.4.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.4.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Etapa 13.4.10.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Etapa 13.4.10.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

Etapa 13.4.10.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

Etapa 13.4.11

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

Etapa 13.4.12

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

Etapa 13.4.13

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

Etapa 13.4.14

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

Etapa 13.4.15

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

Etapa 14

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

Etapa 15.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

Etapa 15.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

Etapa 15.4

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

Etapa 15.5

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $0$ .

$0 + 4$

Etapa 15.6

Some $0$ e $4$ .

$4$