Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Negative o expoente de $e^{8 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

Etapa 1.2.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $e^{- 8 y}$ e $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Etapa 3.2

Combine $y$ e $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

Etapa 4

Como $- \frac{1}{8}$ é constante com relação a $y$ , mova $- \frac{1}{8}$ para fora da integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

Etapa 6

Deixe $u = - 8 y$ . Depois, $d u = - 8 d y$ , então, $- \frac{1}{8} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - 8 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

Etapa 6.1.2

Como $- 8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 8 y$ em relação a $y$ é $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- 8$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

Etapa 6.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$u_{upper} = - 8$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{8}$ por $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $8$ por $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ em $1$ e em $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

Etapa 12.2

Avalie $e^{u}$ em $- 8$ e em $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.2

Multiplique $e^{- 8}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.3

Mova $e^{- 8}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7

Cancele o fator comum de $0$ e $8$ .

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Etapa 12.3.7.1

Fatore $8$ de $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.7.2.1

Fatore $8$ de $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.8

Some $- \frac{1}{8 e^{8}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

Etapa 12.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

Etapa 12.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

Etapa 12.3.11

Para escrever $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.12

Combine $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ e $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.14

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.15

Combine $- 8$ e $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.16

Combine $e^{8}$ e $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.17

Mova $- 8$ para a esquerda de $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.18

Cancele o fator comum de $- 8$ e $64$ .

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Etapa 12.3.18.1

Fatore $8$ de $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.18.2.1

Fatore $8$ de $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.18.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.18.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 12.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 13.2

Fatore $- 1$ de $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Etapa 13.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

Etapa 13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

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Etapa 14.1.2.1

Combine $\frac{e^{8}}{8}$ e $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.2.2

Multiplique $e^{8}$ por $e^{- 8}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.1.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.2.2.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.2.3

Simplifique $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.3

Combine $\frac{e^{8}}{8}$ e $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.4.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.7

Some $8$ e $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.9.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.9.2

Reescreva $e^{8}$ como ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.1.9.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 3$ e $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

Etapa 14.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

Etapa 14.3

Combine.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

Etapa 14.4

Multiplique $3 + e^{4}$ por $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

Etapa 14.5

Multiplique $8$ por $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

Etapa 14.6

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

Forma decimal:

$0.01557782 \dots$

Etapa 16