Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Etapa 1

Como $11$ é constante com relação a $x$ , mova $11$ para fora da integral.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 1 + x^{11}$ . Depois, $d u = 11 x^{10} d x$ , então, $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 1 + x^{11}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{11}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Etapa 2.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

Etapa 3

Combine $u^{10}$ e $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{11}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{11}$ para fora da integral.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{11}$ e $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 5.3

Multiplique $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ por $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{10}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{1}{11} u^{11}$ em $2$ e em $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $2$ à potência de $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{1}{11}$ e $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

Etapa 7.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

Etapa 7.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

Etapa 7.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2048 - 1}{11}$

Etapa 7.2.6

Subtraia $1$ de $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2047}{11}$

Forma decimal:

$186.\overline{09}$

Forma de número misto:

$186 \frac{1}{11}$

Etapa 9