Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 8 \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $t$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int_{0}^{1} \cos (\frac{π t}{2}) d t$

Etapa 2

Deixe $u = \frac{π t}{2}$ . Depois, $d u = \frac{π}{2} d t$ , então, $\frac{2}{π} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = \frac{π t}{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\frac{π t}{2}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{2}]$

Etapa 2.1.2

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π t}{2}$ em relação a $t$ é $\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{π}{2} \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $1$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{2}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 2.3.1.1

Fatore $2$ de $π \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 (1)}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = \frac{2 (π \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = \frac{π \cdot 0}{1}$

Etapa 2.3.1.2.4

Divida $π \cdot 0$ por $1$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

Etapa 2.3.2

Multiplique $π$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \frac{π t}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 1}{2}$

Etapa 2.5

Multiplique $π$ por $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{2}$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{2}} d u$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{π}{2}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) (1 \frac{2}{π}) d u$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{2}{π}$ por $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) \frac{2}{π} d u$

Etapa 3.3

Combine $\cos (u)$ e $\frac{2}{π}$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos (u) \cdot 2}{π} d u$

Etapa 3.4

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (u)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{2 \cos (u)}{π} d u$

Etapa 4

Como $\frac{2}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{2}{π}$ para fora da integral.

$8 (\frac{2}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{2}{π}$ e $8$ .

$\frac{2 \cdot 8}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{16}{π} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (u) d u$

Etapa 6

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$\frac{16}{π} \sin (u)]_{0}^{\frac{π}{2}}$

Etapa 7

Avalie $\sin (u)$ em $\frac{π}{2}$ e em $0$ .

$\frac{16}{π} (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (0))$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{16}{π} (1 - \sin (0))$

Etapa 8.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{16}{π} (1 - 0)$

Etapa 8.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{16}{π} (1 + 0)$

Etapa 8.4

Some $1$ e $0$ .

$\frac{16}{π} \cdot 1$

Etapa 8.5

Multiplique $\frac{16}{π}$ por $1$ .

$\frac{16}{π}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{16}{π}$

Forma decimal:

$5.09295817 \dots$