Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \arcsin (y) d y$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arcsin (y)$ e $d v = 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} y \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Etapa 2

Combine $y$ e $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{y}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y$

Etapa 3

Deixe $u = 1 - y^{2}$ . Depois, $d u = - 2 y d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 1 - y^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $1 - y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 - y^{2}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie.

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Etapa 3.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 3.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 y)$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 y$

Etapa 3.1.4

Subtraia $2 y$ de $0$ .

$- 2 y$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = 1 - y^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{2}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Etapa 3.5.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 4.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 4.3

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} - - \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + 1 \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 6.2

Multiplique $\int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$ por $1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 8.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 8.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 8.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{1}^{0} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arcsin (y) y]_{0}^{1} + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Etapa 10

Substitua e simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\arcsin (y) y$ em $1$ e em $0$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{0}$

Etapa 10.2

Avalie $2 u^{\frac{1}{2}}$ em $0$ e em $1$ .

$(\arcsin (1) \cdot 1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Multiplique $\arcsin (1)$ por $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0) \cdot 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.2

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\arcsin (1) + 0 \arcsin (0) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.3

Multiplique $0$ por $\arcsin (0)$ .

$\arcsin (1) + 0 + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.4

Some $\arcsin (1)$ e $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} ((2 \cdot 0^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.5

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.6

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.7.1

Cancele o fator comum.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.7.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.8

Avalie o expoente.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (2 \cdot 0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.9

Multiplique $2$ por $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Etapa 10.3.10

Um elevado a qualquer potência é um.

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2 \cdot 1)$

Etapa 10.3.11

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} (0 - 2)$

Etapa 10.3.12

Subtraia $2$ de $0$ .

$\arcsin (1) + \frac{1}{2} \cdot - 2$

Etapa 10.3.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{- 2}{2}$

Etapa 10.3.14

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 10.3.14.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

Etapa 10.3.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.3.14.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 10.3.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\arcsin (1) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.3.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\arcsin (1) + \frac{- 1}{1}$

Etapa 10.3.14.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\arcsin (1) - 1$

Etapa 11

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - 1$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2} - 1$

Forma decimal:

$0.57079632 \dots$