Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} 5 x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Etapa 1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int_{0}^{1} x^{4} {(3 + x^{5})}^{4} d x$

Etapa 2

Deixe $u = 3 + x^{5}$ . Depois, $d u = 5 x^{4} d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = 3 + x^{5}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $3 + x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{5}]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 2.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$0 + 5 x^{4}$

Etapa 2.1.5

Some $0$ e $5 x^{4}$ .

$5 x^{4}$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{lower} = 3 + 0^{5}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $3$ e $0$ .

$u_{lower} = 3$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 3 + x^{5}$ .

$u_{upper} = 3 + 1^{5}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 3 + 1$

Etapa 2.5.2

Some $3$ e $1$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Etapa 2.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$5 \int_{3}^{4} u^{4} \frac{1}{5} d u$

Etapa 3

Combine $u^{4}$ e $\frac{1}{5}$ .

$5 \int_{3}^{4} \frac{u^{4}}{5} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$5 (\frac{1}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{5} \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int_{3}^{4} u^{4} d u$

Etapa 5.3

Multiplique $\int_{3}^{4} u^{4} d u$ por $1$ .

$\int_{3}^{4} u^{4} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5}]_{3}^{4}$

Etapa 7

Substitua e simplifique.

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Etapa 7.1

Avalie $\frac{1}{5} u^{5}$ em $4$ e em $3$ .

$(\frac{1}{5} \cdot 4^{5}) - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1024 - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Etapa 7.2.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $1024$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 3^{5}$

Etapa 7.2.3

Eleve $3$ à potência de $5$ .

$\frac{1024}{5} - \frac{1}{5} \cdot 243$

Etapa 7.2.4

Multiplique $243$ por $- 1$ .

$\frac{1024}{5} - 243 (\frac{1}{5})$

Etapa 7.2.5

Combine $- 243$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1024}{5} + \frac{- 243}{5}$

Etapa 7.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1024}{5} - \frac{243}{5}$

Etapa 7.2.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1024 - 243}{5}$

Etapa 7.2.8

Subtraia $243$ de $1024$ .

$\frac{781}{5}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{781}{5}$

Forma decimal:

$156.2$

Forma de número misto:

$156 \frac{1}{5}$

Etapa 9